числовые модели смертности, представляющие собой систему взаимосвязанных, упорядоченных по возрасту рядов чисел, описывающих процесс вымирания некоторого теоретического поколения с фиксированной начальной численностью. Исторически первые и одни из самых распространенных среди демографических таблиц.
Отличное определение
Неполное определение ↓
Таблицы смертности (Life tables)
числовая вероятностная модель, описывающая процесс вымирания некоторого теоретического поколения с фиксированной начальной численностью, называемой корнем таблицы (обозначаетсяl0. Обычно принимается равным 10 000,100 000 или 1 000 000). Основными функциями (показателями) таблиц смертности являются: интервал возраста (х + и), числа доживающих до точного возраста х лет (lx), числа умирающих на возрастном интервале х+п лет (ndx = lх+n- lХ), вероятность умереть на возрастном интервале х+п лет (nqx = ndx/lx),числа человеко-лет жизни в интервале возраста от х лет до х + п лет, или числа живущих на данном возрастном интервале (nLx) , числа человеко-лет жизни в возрасте х лет и старше (nТх= 5*SLx), а также ожидаемая продолжительность жизни (ех = nTx/lx).
Отличное определение
Неполное определение ↓
Таблицы смертности (дожития)
количественные модели смертности, ее уровня и возрастных особенностей, представляют собой систему взаимосвязанных соотношений, описывающих процесс вымирания некоторого поколения с фиксированной начальной численностью, именуемой корнем таблицы. Таблица смертности включает в себя следующие показатели. Числа доживающих до возраста х лет (lx). Начальная численность, или корень таблицы (l0) обычно принимается равной 100000. Числа умирающих (dx) в интервале возраста от х до х+1 равны разности чисел доживающих до возраста х+1 и х. Вероятность умереть в течение предстоящего года жизни (qx) равна отношению числа умирающих к числу доживающих до данного возраста. Вероятность дожития до следующего возраста х+1 (px) равна результату вычитания из единицы вероятности умереть. Число человеко-лет жизни в интервале возраста от х до х+1 (число живущих) - (Lx) равно полусумме чисел доживающих до возраста х и х+1 соответственно. Это справедливо при предположении о равномерном (линейном) уменьшении числа доживающих в некотором возрастном интервале. Более точная оценка предложена В.И. Борткевичем. Соответственно табличный коэффициент смертности (mx) равен отношению чисел умерших в интервале возраста от х до х+1 к числу человеко-лет жизни в этом интервале. Число человеко-лет жизни в возрасте х лет и старше (Tx) равно сумме Lx, Lx+1 и т.д. вплоть до конечного возраста в таблицах смертности, для которого производятся вычисления. Ожидаемая продолжительность жизни в возрасте х лет (ex) равна отношению числа человеко-лет, которое будет прожито в возрасте х лет и старше (Tx) к числу доживающих до данного возраста. Наиболее распространен показатель eo - ожидаемая продолжительность жизни при рождении, который является обобщающей характеристикой смертности, независимой от возрастной структуры населения. Отправным для расчета таблиц смертности является определение исходного показателя с учетом имеющейся статистики, что во многом определяет метод построения таблиц смертности. Исторически первым (вторая половина XVII в.) был так называемый метод смертных списков, который основывался лишь на данных о возрастном распределении умерших. Исходным показателем при расчете таблиц смертности этим методом является ряд чисел умирающих (dx). При этом предполагается, что в модельном населении возрастное распределение умерших аналогично таковому в реальном населении в данном календарном году или периоду времени. Таблица смертности, построенная таким методом, дает приемлемые результаты для т.н. закрытого населения, т.е. того, в котором отсутствует миграция; сохраняющего неизменный порядок вымирания и ежегодные числа родившихся на протяжении достаточно длительного периода (в идеале 100 лет). Развитие этого метода для растущего населения, числа родившихся в котором увеличиваются в геометрической прогрессии, принадлежит Л. Эйлеру (сер. XVIII в.). Метод построения таблиц смертности основан на использовании данных о возрастном составе умерших и коэффициента естественного прироста населения за предшествующий период. Дальнейшее совершенствование метода смертных списков предпринято В.Я. Буняковским, который рассчитал таблицу смертности православного населения России по данным об умерших, сгруппированных по возрасту и годам рождения и численности родившихся по годам рождения (сер. XIX в.). Исходным показателем при расчете таблиц смертности является число умирающих (dx), которое предполагается равным отношению чисел умерших в данном возрасте х лет к численности родившихся х лет назад. Таким образом, этот метод позволяет строить таблицу смертности, не прибегая к гипотезам о динамике чисел. Вместе с тем, как и другие таблицы смертности, основанные на методе смертных списков, метод В.Я. Буняковского позволяет адекватно оценивать уровень смертности только закрытого населения с неизменным порядком вымирания. До настоящего времени метод сохраняет свое значение для определения уровня младенческой смертности. С началом регулярного проведения переписей появилась возможность для построения таблиц смертности демографическим методом. Он основан на использовании данных о числе умерших и численности населения по полу и возрасту по данным переписи и текущего учета. Исходным показателем при расчете таблиц служит возрастной коэффициент смертности, приравниваемый к табличному коэффициенту. Впервые таблицы смертности демографическим методом были построены У. Фарром и А. Кетле соответственно для населения Англии и Уэльса, и Бельгии в середине XIX в. В классическом варианте построения таблиц смертности этим методом в знаменателе коэффициентов смертности используется средняя численность населения за период, за который имеются сведения об умерших. Развитие демографического метода связано с уточнением алгоритма для определения средней численности населения. Для случая значительных различий в численности соседних поколений А.Я. Боярским предложена методика расчета, которая впервые была использована при построении таблиц смертности по СССР и республикам в 1959 г. Модификация демографического метода, в основе которой лежит отождествление возрастного коэффициента смертности со средней величиной силы смертности в данном возрастном интервале (а фактически с вероятностью умереть), принадлежит В.В. Паевскому. Этот метод используется при расчете кратких таблиц смертности. Разработаны основанные на различных гипотезах также другие алгоритмы перехода от возрастного коэффициента смертности к вероятности умереть. Один из наиболее часто применяемых для построения кратких таблиц смертности метод Гревилла, предложенный им еще в 1943 г. При отсутствии достоверных данных об умерших, но наличии регулярно проводимых переписей, таблицы смертности рассчитывают на основе сведений о сокращении численности каждого поколения в межпереписной период. Исходным показателем таблиц являются в этом случае коэффициенты передвижки (дожития) за период t лет (где t - период между переписями), которые определяются как отношение лиц в возрасте (x+ t) по второй переписи к числу лиц в возрасте x по первой переписи. При отсутствии миграции таблицы смертности, построенные таким методом, позволяют достаточно надежно оценить уровень смертности. Такой метод широко применялся для расчета таблиц смертности для населения Индии. Поэтому он и получил название "метод построения индийских таблиц смертности". С некоторыми модификациями он рекомендуется экспертами ООН для стран с недостоверной статистикой смертности. Помимо классификации методов построения таблиц смертности, выбор которых в решающей мере зависит от наличия исходных данных, можно выделить другие аспекты классификации таблиц смертности. Это, прежде всего, - смертность какого поколения, реального или гипотетического, характеризуют таблицы смертности. Таблицы смертности реального поколения представляют собой систему взаимосвязанных соотношений, характеризующих уменьшение с возрастом вследствие смерти определенной совокупности родившихся - реального поколения. При этом, подобные таблицы смертности отражают как общие закономерности изменения смертности в зависимости от возраста, так и частные, вызванные изменениями в условиях жизни на протяжении истории существования поколения. Они представляют значимость преимущественно в историко-демографических исследованиях. Таблицы смертности реального поколения строят сравнительно редко, поскольку для этого необходимо располагать статистическими данными о смертности поколения в течение примерно 100 лет. Таблицы смертности гипотетического поколения представляют собой систему взаимосвязанных соотношений, характеризующих уменьшение с возрастом вследствие смерти некоторой условной совокупности родившихся, проживших всю жизнь в условиях возрастных интенсивностей смертности данного календарного периода. На основе этих возрастных интенсивностей смертности определяется дожитие условного (гипотетического поколения) до каждого возраста. Таким образом, таблицы смертности гипотетического поколения характеризуют уровень смертности конкретного календарного периода и не отражают ее уровень ни для одного из живущих в данный период реальных поколений. И, наконец, еще одно основание классификации таблиц смертности связано с тем, построены они для всех возрастов или для отдельных возрастных контингентов, например, только для детей первого года жизни, или для взрослых. Это деление не тождественно делению на полные и краткие таблицы смертности. Как те, так и другие, могут быть полными и краткими. Краткие таблицы смертности рассчитываются для 5-летних, реже для 10-летних интервалов возраста. Соответственно для их расчета используются данные о числе умерших и живущих за эти интервалы. При значительной возрастной аккумуляции и других дефектах исходных данных построение кратких таблиц может оказаться более предпочтительным. Они чаще используются и при международных сопоставлениях. В полных таблицах смертности шаг изменения возраста - 1 год. Они, как правило, используются для демографических прогнозов. И в полных, и в кратких таблицах принята большая детализация для первых пяти лет и особенно первого года жизни с разбивкой пятилетнего периода по годам, а первого года - возможно по месяцам. А. ИВАНОВА
Отличное определение
Неполное определение ↓
ТАБЛИЦЫ СМЕРТНОСТИ
ТАБЛИЦЫ СМЕРТНОСТИ, таблицы смертности и средней продолжительности жизни, таблицы дожития, упорядоченный ряд взаимосвязанных величин, показывающих уменьшение с возрастом вследствие смерти нек-рой совокупности родившихся; система возрастных (т. е. представленных как функции возраста) показателей, измеряющих уровень смертности в отд. периоды времени или (для нек-рой совокупности родившихся) дожитие до нек-рого возраста, продолжительность жизни и др.; самый распространенный вид таблиц демографических, представляют собой наиболее точную и адекватную характеристику смертности.
Показатели Т. с. используются при изучении динамики и дифференциации смертности для характеристики уровня смертности всего нас. или отд. возрастных групп, при перспективном расчете числ. и возрастного состава нас. методом передвижки по возрастам, для измерения влияния смертности на ход других демографич. процессов. Различают Т. с. реального и гипотетич. (условного) поколения (см. Реального поколения таблицы смертности, Гипотетического поколения таблицы смертности). В полных таблицах смертности показатели даны по возрастам с интервалом в 1 год (нередко с дополнительным делением первого года по месяцам и т. п.), в кратких таблицах смертности - по 5- и 10-летним интервалам возраста. Т. с., рассчитанные не для конкретной группы нас., но отражающие общие закономерности изменения смертности для категорий нас. со сходным порядком вымирания, называются типовыми таблицами смертности.
Гл. показатель, измеряющий в Т. с. уровень смертности в зависимости от возраста,- вероятность смерти в течение года от момента достижения данного возраста, обозначаемая обычно qx. Ее дополнение до единицы px = 1-qx трактуется как вероятность дожития до следующею возраста - на один год большего. Первым в Т. с. приводится обычно число доживающих, к-рое рассматривается как вероятность для новорожденного дожить до данного возраста. Если p0 есть вероятность для родившегося дожить до 1 года, a p1 - вероятность для достигшего возраста 1 год дожить до 2 лет, то их произведение есть вероятность для новорожденного дожить до 2 лет. Если последнее произведение умножить на вероятность для достигшего 2 лет дожить до 3 лет (p2), то получим вероятность для новорожденного достигнуть возраста 3 года и т. д. Обозначая числа доживающих lx, имеем: l0 = 1 (до возраста 0 доживают все родившиеся в силу самого факта их рождения); l1 =p0; l2 = p0p1 = l0p1; l3 = p0p1p2 = l2p2;... lx = p0p1p2... px-1 = lx-1px-1. Можно, и наоборот, получить вероятности px и qx на основе данных о числах доживающих lx:px = lx+1:lx; qx = 1 - lx+1: lx. Для большей наглядности l0 (называется также корнем таблицы) принимается равным не 1, а 10 000 или 100 000 и т. п. Так же и вероятности px и qx приводятся иногда умноженными на 10 000 или 100 000, т. е. на корень Т. с.
Числа lx с увеличением возраста убывают (полные Т. с. обычно обрывают на возрасте 100 или 110 лет). Обо всем ряде чисел доживающих lx говорят, что он описывает порядок вымирания исходной совокупности родившихся. Ряд lx из Т. с. населения СССР (1968-71, женщины) представлен на рис. 1.
Если вычесть из числа доживающих lx следующее за ним в полной Т. с. lx+1, то получим число умирающих на (х + 1)-м году жизни, обозначаемое обычно dx. Ряд dx представлен на рис. 2. Взаимосвязи всех упомянутых выше показателей выражаются следующей цепью равенств:
dx = lx-lx+1 = lx-lxpx = lx(1-px) = lxqx.
Т. к. возраст смерти человека равен продолжительности его жизни, числа умирающих dx могут рассматриваться как частости распределения родившихся по продолжительности жизни lx, где lx - целое число. Умершие в возрасте х лет, где х - целое число, составляют dx из начальной совокупности l0. В действительности они прожили (x + ax) лет, где ax - ср. число лет, прожитых данным лицом после достижения возраста х (axx = 0,5). Взвешивая по dx, получим среднюю продолжительность предстоящей жизни:
e0 = (a0d0 + (1+a1)d1 + ... + (x+ax)dx + ...)l0
или, допуская ax = 0,5,
e0 = (0*d0 + 1*d1 + ... + xdx + ...)/l0 + 0,5,
где l0 = d0 + d1 + ... + dx.
Ср. продолжительность жизни - один из гл. показателей Т. c. и всей демографич. статистики. Учитывая, что число доживших до возраста х лет есть сумма умирающих во всех последующих возрастах: lx = dx + dx+1 + ..., ср. продолжительность предстоящей жизни в возрасте х равна:
ex = (0*dx + 1*dx+1 + 2*dx+2 + ...)/lx + 0,5.
Ср. продолжительность предстоящей жизни для достигших возраста х лет (ex), исключая младшие детские возраста (см. Парадокс детской смертности), как правило, выше соответств. показателя для новорожденных (e0), т. к. среди них нет умерших в более молодых возрастах. Общее число лет, прожитых всей совокупностью родившихся, начиная с некоторого возраста х, также нередко вычисляется в Т. с. Этот показатель обычно обозначается Tx, он равен произведению lx* ex.
Согласно Т. с., в (х + 1)-й год жизни вступает lx (из начальной совокупности l0), а заканчивает его lx+1. Умирающие в данном году dx прожили в течение года нек-рую его часть. Если допустить, что они выбывают из числа живущих равномерно на протяжении года, то в среднем этот год заканчивают Lx = (lx + lx+1)/2. Эти ср. числа приводятся в Т. с. под назв. чисел живущих, или чисел живущих в стационарном нас. Если числа умирающих разделить на числа живущих, то получим табличный коэффициент смертности: mx = dx:Lx. Этот показатель часто служит для перехода к Т. с. от обычных показателей демографич. статистики. В Т. с. он, как правило, не приводится, поскольку считается чисто вспомогательным. Отнеся ср. число живущих Lx+1 к Lx, получим коэффициент передвижки (дожития). Этот показатель играет важную роль в прогнозировании нас. (см. Передвижка по возрастам), характеризует вероятность для совокупности лиц, находящихся в определенном, напр. одногодичном, возрастном интервале прожить календарный год. Число живущих Lx, относящееся к интервалу в 1 год, равно числу человеко-лет, прожитых взятой совокупностью в рамках этого интервала. Поэтому сумма чисел живущих для возраста х и последующих возрастов равна числу человеко-лет предстоящей жизни:
Tx = Lx + Lx+1 + Lx+2 + ...,
а отношение Tx/lx - равно ср. продолжительности жизни ex.
Наряду с ex в Т. с. встречаются другие показатели, характеризующие продолжительность жизни. Это медианная и модальная продолжительности предстоящей жизни, к-рые соответственно равны медиане и моде распределения по продолжительности жизни лиц, достигших возраста х лет. График (рис. 1) позволяет уточнить смысл этих трех характеристик продолжительности жизни. Так, медианной продолжительности жизни соответствует длина отрезка горизонтальной линии от середины ординаты lx0 до пересечения с кривой lx. Модальная продолжительность жизни (на рис. отмечена фигурной скобкой) равна расстоянию от точки x0 до точки перегиба кривой lx. Наконец, ср. продолжительность предстоящей жизни равна ср. расстоянию от отрезка (x0, lx0) до кривой lx. Площадь, ограниченная кривой дожития, осью ординат и вертикальным отрезком, соответствующим возрасту x0, равна числу человекo-лет предстоящей жизни Tx0.
В табл. 1 приведены три осн. показателя Т. с. населения СССР (1968-71) для возрастов, кратных пяти.
В теории Т. с. их показатели рассматриваются как непрерывные функции возраста. При этом ряд чисел доживающих является непрерывной монотонно убывающей функцией lx. Аналогами числа умирающих и вероятности смерти в течение года служат соответственно взятые со знаком минус производная функции lx и ее логарифмич. производная, называемая силой смертности: μ(x) = - l´(x):l(x). Аналогом числа живущих выступает интеграл функции l(х) по х от возраста х до (х + 1) лет. Ср. продолжительность предстоящей жизни при этом измеряется отношением к l(х) интеграла этой функции от х до бесконечности. Графически это можно представить как отношение к l(х) площади, лежащей между кривой этой функции и осью абсцисс справа от х.
Для практич. построения Т. с. необходимо по имеющимся статистич. данным получить ряд значений одного из показателей, на основании к-рого можно рассчитать все остальные показатели, используя формулы, описывающие их взаимосвязи. Т. с. реального поколения, как правило, строят ретроспективно по имеющимся статистич. данным либо по записям о датах рождения и смерти, для поколения родившихся на нек-рой терр. В том и другом случае построение Т. с. наталкивается на трудности, связанные с качеством и сопоставимостью данных за длительные периоды времени. При наличии данных об умерших в календарный период по годам рождения можно непосредственно получить числа доживающих до каждого возраста из данною поколения родившихся. Если умершие в каждом календарном году разделены только по возрасту, то распределение по годам рождения приходится рассчитывать исходя из чисел умерших на основе той или иной гипотезы.
Методы построения Т. с. гипотетич. поколения различаются в основном выбором исходного показателя. Большая их группа основана на приравнивании табличного коэфф. смертности к обычному возрастному коэфф. смертности (см. Демографический метод построения таблиц смертности). Варианты этого метода отличаются формулой перехода от табличного коэфф. смертности к другим показателям Т. с. и связанными с ней предположениями о характере изменений l(х) внутри годичного интервала возраста (см. Борткевича поправка), а также способами получения возрастных коэфф. смертности по статистич. данным. Наиболее традиционно построение Т. с. для периода (часто 2-летнего), примыкающего к переписи нас. Если умершие в календарный период разделены в статистике по возрасту и годам рождения, то возможно и прямое вычисление вероятности смерти, к-рая будет исходным показателем Т. с. Такой расчет проводится обычно за неск. лет, напр. за 10-летие между двумя переписями.
Особое место занимает метод Бека, основанный на полном, но строго ограниченном использовании данных об умерших за определ. год. Для каждого возраста вычисляются две вероятности: дожития от момента его достижения до конца календарного года и дожития от конца календарного года до момента достижения следующего возраста. Метод Бека особенно эффективен при анализе смертности на 1-м году жизни (см. Коэффициент младенческой смертности).
Менее совершенны методы построения Т. с., основанные на прямом получении чисел умирающих dx (как исходного показателя таблиц) путем сопоставления численности умерших с численностью родившихся соответствующее число лет назад (см. Буняковского метод). В условиях меняющейся смертности такие Т. с. существенно зависят от уровня смертности в поколении с момента рождения до времени расчета таблиц, кроме того, по мере увеличения возраста числа умирающих становятся все менее сопоставимыми друг с другом вследствие улучшения учета, а также миграции (выбывшие умирают вне данной территории, а в ее пределах умирают вновь прибывшие). При отсутствии данных о рождениях применяются разл. гипотезы, напр. о возрастании рождаемости в геометрич. прогрессии с темпом, отвечающим темпу прироста нас. (Эйлера метод), или об ее неизменности (смертных списков метод, к-рым были построены первые Т. с.). При отсутствии данных об умерших известны приемы расчета Т. с. на основании коэфф. дожития на период между переписями (см. Метод построения индийских таблиц смертности).
Для построения кратких Т. с. применяются спец. формулы перехода от коэфф. смертности к вероятности смерти и от чисел живущих к числам доживающих. Так, вместо гипотезы о равномерном убывании числа доживающих в нек-ром интервале возраста часто принимается гипотеза об его уменьшении по показательной функции (см. Паевского метод) и аналогичные предположения.
Способы построения Т. с. могут быть различными для отд. ее частей. Напр., проводя расчет демографич. методом, иногда для младших детских возрастов применяют метод Буняковского, поскольку для этих возрастов числа умерших более сопоставимы с соответств. числами родившихся, чем с данными переписи. Выбор конкретного варианта в большой мере зависит от достоверности статистич. материала, сопоставимости данных и т. д. Ограниченная информация или стремление упростить расчеты приводит к построению кратких Т. с. Показатели кратких Т. с. можно тем или иным способом интерполировать и получить полные Т. с.
Электронная вычислит. техника позволяет усовершенствовать построение Т. с., в частности вести их расчет для всего комплекса возрастов вместо вычисления исходного показателя для каждого отд. возраста. Совр. состояние текущего учета нас. создает возможность отступить от традиции связывать построение
Т. с. с переписью нас. Данные переписи о числе лиц каждого возраста и пола заменяются соответств. данными, полученными расчетным путем по материалам нек-рой переписи, проведенной в прошлом, и текущего учета рождений и смертей.
Первая попытка построения Т. с. предпринята в 1662 Дж. Граунтом, рассчитавшим нек-рые показатели смертности на основе фактич. данных об умерших по Лондону (идеи создания грубого прообраза Т. с. приписываются рим. юристу Ульпиану, 3 в.). Однако первая таблица, имеющая практич. значение, принадлежит Э. Галлею (1693). Большой вклад в разработку теории Т. с. внесли А. Депарсье (1746), П. Варгентин (1757), Э. Дювильяр (1787), П. Лаплас (1816). Осн. контуры косвенного, т. н. демографич. метода расчета Т. с. были определены А. Кетле (1835). С сер. 19 в. в большинстве европ. стран проводится регулярный расчет Т. с. С кон. 1940-х гг. показатели Т. с. по целому ряду стран регулярно публикуются в демография, ежегодниках ООН.
А. Я. Боярский.
Таблицы смертности в России и СССР. Первые Т. с. в России строились методом смертных списков по материалам церковного учета лишь для мужского православного нас., исходная информация содержала не всегда достоверные и, как правило, преуменьшенные данные о числе умерших.
А. Шлецер построил Т. с. для нас. Петербурга по данным об умерших в марте - декабре 1764, опубликованную за рубежом и практически не оказавшую влияния на исследование смертности в стране. В последней четверти 18 в. в трудах Академии наук (публиковавшихся на лат. яз.) появляются Т. с., составленные Л. Крафтом за разл. периоды. По оценке С. А. Новоселъском, исследования смертности в России, предпринятые в кон. 18 в., в самых общих чертах характеризуют смертность только в отд. городах. В нач. 19 в. К. Ф. Герман опубликовал Т. с., к-рые давали характеристику смертности мужского православного нас. в масштабе всей страны (Герман К., Статистические исследования относительно Российской империи, ч. 1, СПБ, 1819). Его таблицы были основаны на статистич. данных за 1796-1809, построены по 5-летним интервалам возраста. Расчеты Германа послужили толчком к полемике в науч. лит-ре 19 в. о соотношении уровней смертности в России и в др. странах Европы. Герман сопоставил Т. с. нас. России, в к-рой, согласно его расчетам, до возраста 5 лет доживало немногим более половины родившихся, с данными по Швеции, где более половины родившихся достигали возраста 20 лет. В 40-х гг. Н. Е. Зернов построил краткие Т. с. по статистич. данным за 1842, к-рые в дальнейшем были интерполированы В. К. Вруном по одногодичным интервалам возраста. Числа доживающих в таблицах Зернова оказались ниже, чем в таблицах Германа. Причину этого можно объяснить особенностями 1842 (неурожай, голод), а также возможностью нек-рого улучшения текущего учета в течение периода, разделяющего данные таблицы.
В 60-х гг. В. Я. Буняковский пришел к выводу о непригодности метода смертных списков для построения Т. с. в России. Этот метод предполагал неизменность годовых чисел рождений, тогда как в России с 1796 по 1862 годовое число родившихся утроилось. Он предложил соотносить числа умерших в отд. возрастах не с числ. всех умерших, а с числом родившихся в соответствующие годы. Буняковский построил Т. с. отдельно для мужского и женского православного нас. России, пользуясь следующими исходными данными: числами умерших в 1862, распределенными по пятилетним возрастным, интервалам; числами ежегодных рождений с 1796, т. е. начальными численностями поколений для возрастов 0-66 лет. Для более старших возрастов совокупности родившихся рассчитаны методом экстраполяции.
На основе своих расчетов Буняковский сделал вывод, что более высокий уровень смертности в России, по сравнению с зап.-европ. странами, объясняется значит. смертностью в детских возрастах. Взятые им для сопоставления таблицы И. П. Зюсмильха и П. Варгентина для ряда зап.-европ. стран построены, однако, др. методами по статистич. данным 18 в. (табл. 2). В период, разделяющий таблицы Буняковского и таблицы Зюсмильха и Варгентина, в Зап. Европе произошло значит. снижение смертности. В дальнейшем Буняковский рассчитал Т. с. на 1870 и 1863-70. Все последующие Т. с. нас. России до кон. 19 в. строились методом Буняковского. Среди них серия Т. с., составленных Л. Бессером и К. Балодисом для 10-летних периодов с 1851 по 1890, к-рые свидетельствовали о наметившейся тенденции к снижению смертности в возрастах старше 10 лет.
Табл. 2. - Числа доживающих (Jx) по некоторым таблицам смертности, на 10000 родившихся
Первая перепись нас. в России 1897 предоставила исследователям качественно новый статистич. материал о числ. нас. по возрастным группам и позволила перейти к построению Т. с. более точным демографич. методом. Первые такие Т. с. в России построил В. И. Гребенщиков. Его таблицы характеризовали смертность в 12 губерниях, по к-рым в 1901 были опубликованы разработки материалов переписи. С. А. Новосельский на базе данных переписи 1897 и сведений об умерших в 1896-97 рассчитал Т. с. для нас. 50 губерний Европ. России. Это были первые подлинно научные Т. с. нас. России, к-рые послужили основой для последующих сравнений и оценки значит. снижения уровня смертности в СССР. Т. с. 1896-97 подтвердили, что для дореволюц. России была характерна крайне высокая смертность в детских возрастах. Общий уровень смертности был существенно выше, чем в европ. странах.
Разработка первых Т. с. нас. СССР проведена С. А. Новосельским и В. В. Паевским. Исходным материалом для них послужили данные переписи 1926 и сведения об умерших за примыкающие к переписи годы (1926-27). Т. с. 1926-27, как и Т. с. нас. в дореволюц. России, построены для Европ. части страны. Объясняется это не только стремлением получить сопоставимые показатели, но и тем, что учет смертности в Азиат. части СССР в 20-х гг. был плохо налажен и данные по этому обширному р-ну были ненадежными. Новосельский и Паевский большое внимание уделили методологии построения и методике расчета Т. с., в частности выравниванию рядов исходной статистич. информации. Таблицы были построены раздельно для гор. и сел. нас. Наряду с таблицами для Европ. части СССР Новосельским, Паевским и М. В. Птухой были рассчитаны Т. с. для отд. регионов страны. Сопоставление Т. с. 1926-27 с Т. с. для дореволюц. России выявило, что при значит. уменьшении смертности всего нас. более высокими темпами снижалась детская смертность, а также смертность гор. нас., т. е. контингентов с наиболее высоким ее уровнем.
Т. с. 1938-39 были построены ЦСУ СССР на основе данных переписи 1939, охватывали нас. всей страны, поэтому их показатели не вполне сопоставимы с таблицами 1926-27. В дальнейшем Т. с. нас. СССР с делением по полу и на городское и сельское рассчитаны для 1958-59 (по данным переписи 1959) и 1968-71 (по данным переписи 1970). Отличие последних таблиц заключается в том, что сведения об умерших брались не за два, а за четыре примыкавших к переписи года, с тем чтобы снизить влияние случайных факторов на показатели таблиц. Разработанность методики, наличие квалифицир. кадров демографов, а также использование ЭВМ позволили с нач. 60-х гг. проводить регулярные расчеты Т. с. для широкого круга территорий, что дает возможность выявить различия в уровне смертности нас. отд. районов страны и причины, их порождающие.
Г. И. Чертова.
Андреев К. А., О таблицах смертности. Опыт теоретического исследования о законах смертности и составления таблиц смертности для России. М. 1871; Новосельский С. А., Смертность и продолжительность жизни в России, П, 1916; Боярский А. Я., Курс демографической статистики, М. 1946; Птуха М. В., Очерки по истории статистики 17 - 18 вв., [М.], 1945; Смертность и продолжительность жизни населения СССР. 1926 - 1927. Таблицы смертности, М.-Л., 1930; Итоги Всесоюзной переписи населения 1959 г., СССР (Сводный том), М. 1962; Пресса Р., Народонаселение и его изучение, пер. с франц., [М.]. 1966; Бедный М. С., Продолжительность жизни, М. 1967; Новосельский С. А., Паевский В. В., Таблицы смертности населения СССР, в кн.; Паевский В. В., Вопросы демографической и медицинской статистики, М. 1970, с. 298-307; Соаle A., Demeny P., Regional model life tables and stable populations, Princeton, 1966.
Отличное определение
Неполное определение ↓
Построение тарифов по страхованию жизни имеет следующие особенности:
- 1. Расчеты производятся с использованием демографической статистики и теории вероятности.
- 2. При расчетах применяются способы долгосрочных финансовых исчислений.
- 3. Тарифные ставки-нетто состоят из нескольких частей, каждая из которых призвана сформировать страховой фонд по одному из видов страховой ответственности, включенных в условия страхования.
Сочетание математических методов, применяемых в статистике, теории вероятности и долгосрочных финансовых исчислений породило особую отрасль науки - теорию актуарных расчетов, на основе которой устанавливаются тарифные ставки и резерв взносов по страхованию жизни. Актуарные расчеты - это система математических и статистических методов, с помощью которых определяются финансовые взаимоотношения страховщика и страхователя по долгосрочному страхованию жизни.
Тарифная ставка определяет, сколько денег каждый из страхователей должен внести в общий страховой фонд с единицы страховой суммы. Поэтому тарифы должны быть рассчитаны так, чтобы сумма собранных взносов оказалась достаточной для выплат, предусмотренных условиями страхования. Таким образом, тарифная ставка - это цена услуги, оказываемой страховщиком населению, т.е. своеобразная цена страховой защиты. От чего же зависят ее размеры, как установить цену на тот или иной вид страхования жизни?
Полная тарифная ставка называется брутто-ставкой. Она состоит из нетто-ставки и нагрузки. Задача нетто-ставки - обеспечить выплаты страховых сумм, т.е. выполнение финансовых обязательств страховщика по договорам страхования. Нагрузка предназначена компенсировать расходы наведение страховых операций. Своеобразие операций страхования жизни проявляется при построении нетто-ставки. Условия страхования жизни обычно предусматривают выплаты в связи с дожитием застрахованного до окончания срока действия договора страхования или в случае его смерти в течение этого срока. Кроме того, предусматриваются выплаты в связи с потерей здоровья вследствие травмы и некоторых болезней. Таким образом, для исчисления объема страхового фонда нужно располагать сведениями о том, сколько лиц из числа застрахованных доживет до окончания срока действия их договоров страхования и сколько из них каждый год может умереть, у скольких из них и в какой степени наступит потеря здоровья. Количество выплат, помноженное на соответствующие страховые суммы, позволит определить размеры предстоящих выплат, т.е. появится возможность узнать, в каких размерах нужно будет аккумулировать страховой фонд.
Продолжительность жизни отдельных людей колеблется в широких пределах. Она относится к категории случайных величин, численное значение которых зависит от многих факторов, настолько отдаленных и сложных, что, казалось бы, их невозможно выявить и изучить. Теория вероятности и статистика исследуют случайные явления, имеющие массовый характер, в том числе смертность населения. Установлено, что демографический процесс смены поколений, выражаемый в изменении уровня повозрастной смертности, подчинен закону больших чисел, столь однообразному в своих проявлениях и столь достоверному в результатах, что он в состоянии служить основой финансовых расчетов в страховании.
Демографической статистикой выявлена и выражена с помощью математических формул зависимость смертности от возраста людей. Разработана специальная методика составления так называемых таблиц смертности, где на конкретных цифрах показывается последовательное изменение смертности вслед за возрастом. Этими таблицами страховые организации пользуются для расчета тарифов.
Кроме закономерностей, связанных с процессом доживаемости и смертности, при построении тарифов учитывается долгосрочный характер операций страхования жизни, поскольку эти договоры заключаются на длительные сроки: 3 и более лет. В течение всего времени их действия (или в самом начале срока страхования при единовременной уплате) страховые органы получают взносы. Выплаты же страховых сумм производятся на протяжении срока страхования или по истечении определенного периода от начала действия договора, если наступит смерть застрахованного или он утратит здоровье.
Временно свободные средства, аккумулируемые страховой организацией, используются как кредитные ресурсы. За пользование ими уплачивается ссудный процент. Но если при сберегательной операции доход от процентов присоединяется ко вкладу, то в страховании на сумму этого дохода заранее уменьшаются (дисконтируются) подлежащие уплате взносы страхователя. Для того чтобы заранее понизить тарифные ставки на тот доход, который будет складываться в течение ряда лет, используются методы теории долгосрочных финансовых исчислений.
Тарифные ставки в страховании жизни состоят из нескольких частей. Возьмем для примера смешанное страхование жизни. В нем объединяются несколько видов страхования, которые могли бы быть и самостоятельными:
- 1) страхование на дожитие;
- 2) страхование на случай смерти;
- 3)страхование от несчастных случаев.
По каждому из них при помощи тарифа создается страховой фонд, поэтому тарифная ставка в смешанном страховании состоит из трех частей, входящих в нетто-ставку, и четвертой части -- нагрузки. Структура тарифной ставки, а, следовательно. Аналогично складывается структура тарифных ставок и по другим видам страхования жизни.
Таблица смертности содержит расчетные показатели, характеризующие смертность населения в отдельных возрастах и доживаемость при переходе в другую возрастную группу.
Представим себе, что в данном году появилось 100 000 новорожденных. Возраст человека обозначим символом х. Тогда х=0. Число лиц, доживающих до каждого возраста, принято обозначать символом lx. Таким образом, число новорожденных lo= 100 000. По таблице можно определить, сколько из них доживет до каждого конкретного возраста. Так, до 18 лет доживет 97028 человек, т.е. l18=97028, до 20 лет--96773, до 40 лет -- 92246, до 50 лет-- 87064, а до 85 -- 18900 человек.
Из этой же таблицы можно узнать, сколько человек каждый год умирает. Число лиц, умирающих в течение года, т.е. при переходе оn возраста х к возрасту х + 1 год, обозначим символом dx. Тогда из нашей совокупности новорожденных до 1 года не доживет 1782 человека (do -1782), до 19 лет - 121 человек из восемнадцатилетних (d18 - 121), до 41 года не доживет 374 человека 40-летних (d40), а до возраста 86 лет не доживет 2616 85-летних.
Для удобства расчетов исчисляются показатели вероятности умереть qх в течении определенного года жизни. Вероятность умереть в возрасте х лет, не дожив до возраста х+1 год, равна qх= dx / lx, то есть частному от деления числа умирающих на число доживающих до данного возраста. Например, qо= 0.017 82, q18=0.001 25, q40=0.004 06, а q85=0.138 40. Это означает, что из 1000 000 18-летних до 19 лет не доживет 125 человек, а из 100 000 40-летних до 41 года - 406 человек.
Располагая показателями вероятности умереть, страховщик с достаточной степенью уверенности может предположить, что в течении ближайшего года из числа застрахованных в возрасте 40 лет может умереть 041 %, в возрасте 41 года - 0,43%, в возрасте 50 лет - 0,84 %. В отдельные годы эти числа могут быть несколько большими или меньшими, но вероятность отклонений чрезвычайно мала.
Пользуясь таблицей смертности, можно узнать вероятность дожить до любого интересующего нас возраста. Она обозначается символом px и равняется 1- qx, то есть на протяжении определенного периода каждый человек либо доживет, либо не доживет до его окончания, поэтому сумма вероятностей умереть и дожить, равна единице, то есть достоверна. Например, для 40-летнего лица вероятность дожить до 41 года равна p40=1-0.000406=0.9594.
Таблица смертности может содержать показатели среднеq продолжительности жизни (ех) лиц, достигших определенного возраста, при условии, что повозрастная смертность населения, которая положена в основу построения таблиц смертности, для всего периода предстоящей жизни данного поколения останется неизменной. Таблица показывает, сколько лет в среднем предстоит прожить одному человеку из числа родившихся или из числа достигших данного возраста.
Основными в таблице смертности являются показатели вероятности умереть. Их исчисляют на основе данных переписей населения или наблюдений страхового учреждения.
Таблица 1.
Извлечение из таблицы смертности и средней продолжительности жизни.
|
Возраст, лет |
Число доживающих до возраста х l(x) |
Число умирающих при переходе от возраста х к возрасту х+1 лнт (dx) |
Вероятность умереть в течение предстоящего года жизни (qx) |
Средняя продолжительность жизни (ех) |
Норма процента. Ее математическое выражение и влияние на величину тарифных ставок
Взносы, аккумулируемые страховщиком, временно используются в хозяйстве как кредитные ресурсы и приносят определенный доход. Рассмотрим способы, при помощи которых тарифные ставки заранее занижаются на сумму этого дохода.
Размер дохода, приносимого за год единицей денежной суммы, называется нормой процента, или нормой доходности. Обозначают ее символом i. Например, i=0.03 означает, что каждый рубль дает три копейки годового дохода, а вся сумма - 3% дохода. Таким образом, 1% равен 100 i. В страховании доход рассчитывается по отношению к одной денежной единице, а не к сотне единиц, как это делается в других случаях.
Абсолютный размер дохода, начисляемого на средства страховой организации помимо нормы доходности (процентной ставки) зависит еще от размера той суммы, которая отдана в кредит, и от времени, в течение которого она находилась в обороте.
Для примера подсчитаем, во что превратится денежная сумма величиной в 100 000 грн. через 10 лет. Сумму, которая отдается в кредит обозначим символом А, время, в течении которого она находится в обороте, (10 лет) - п, норму процента (3%) - символом i. Расчет производится по формуле сложных процентов. В конце каждого года образовавшийся за год доход присоединяется к денежной сумме на начало года, и в следующем году процент приносит уже новая, наращенная сумма. При норме процента i спустя год каждая денежная единица превратится в 1+ i, то есть при i=0.03 в 1030 руб (1000 грн.+30 грн.). Отсюда А таких единиц будет А(1+i), или 103000 грн. (100000 грн.*1.03).
Сумму, которая сложится к концу первого года (103000 грн.), обозначим символом В1. Тогда В1=А(1+ i). Соответственно к концу второго года (и началу третьего) эта сумма составит:В2=В1(1+ i)*(1+ i)=А(1+ i)2. В конце третьего года новая сумма В3=В2(1+ i)=А(1+ i)3
Через 10 лет первоначальная денежная сумма А даст наращенную сумму
В10=А(1+ i)10, а через п лет - В=А(1+ i)п.
Величина (1+ i) называется процентным множителем. За п лет он равен(1+ i)п.
На практике применяются таблицы с заранее исчисленными значениями (1+i) при заданной норме доходности.
В нашем примере сумма в 100000 грн. через 10 лет при i=0,03 будет равна В10(100*1.34392)=134390 грн.
Очевидно, что чем выше норма процента, тем быстрее возрастет первоначальная сумма. Так, при 3%-ной норме она удваивается за 23 года, при 5%-ной - за 14 лет, при 7%-ной - за 10 лет.
Используя таблицу смертности, страховщик определяет величину страхового фонда Вп, необходимого для выплаты в обусловленные сроки страховых сумм.
Таблицы смертности. Важнейшие показатели таблиц смертности
Таблица смертности - ϶ᴛᴏ упорядоченный ряд взаимосвязанных величин, показывающих уменьшение с возрастом вследствие смерти некоторой совокупности родившихся. Таблицы смертности характеризуют изменение численности условного поколения (совокупности родившихся в одном году 100 тыс. человек) при переходе от возраста к возрасту вследствие смертности.
Основная цель построения таблиц смертности – характеристика порядка дожития до определенного возраста сверстников, сокращение численности населения при переходе из одной возрастной группы в другую.
Таблицы смертности классифицируются по следующим признакам:
1) по охвату возрастных групп:
а) полные – по однолетним возрастам от 0 лет до 100 включительно;
б) краткие – для укрупненных возрастных групп;
2) по полу:
а) для мужчин;
б) для женщин;
в) совместные;
3) по территориальному признаку:
а) для страны в целом;
б) для городского или сельского населения;
в) для краев, областей, крупных городов;
4) по социальному статусу (для отдельных социальных групп);
5) по этническому признаку;
6) по методу построения.
В таблице смертности для каждого возраста x (x = 0,100) содержатся показатели :
1) число доживающих до возраста х лет, определяется по данным переписи – I Х ;
2) число умирающих в возрасте х лет, определяют по данным текущей статистики – d x ;
3) вероятность умереть в течение предстоящего года жизни для лиц, достигших возрастах лет – q x :
qx = dx / ix ;
4) вероятность дожить до следующего возраста лиц, достигших возраста x лет – p x :
px = ix+1 / ix ; qx + px = 1 ;
5) среднее число живущих в возрасте x лет – L x :
L x = i x + i x +1;
6) число человеко‑лет предстоящей жизни от возраста x
лет и до предельного возраста – T x
: 
7) средняя продолжительность предстоящей жизни (число лет, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ предстоит прожить лицам, достигшим возраста x лет) – e 0 x :
e 0 x = T x / I x .
Показатель e 0 x определяет число лет, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ предстоит прожить в среднем одному человеку из числа данного поколения родившихся или доживших до определенного возраста при условии, что на протяжении последующей жизни этого поколения повозрастная смертность будет неизменной; 8) коэффициент дожития:
P x = L x +1 / L x .
Существуют следующие методы построения таблиц смертности : 1) условный метод, использующийся, когда нет фактических данных о распределении умерших и живущих по полу и возрасту в один и тот же период;
2) прямой метод или метод реального поколения. Его суть состоит по сути в том, что прослеживается, как фактически вымирает поколение от одного года к другому;
3) косвенный или демографический метод, при использовании которого прослеживается условное поколение.
Таблицы смертности. Важнейшие показатели таблиц смертности - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Таблицы смертности. Важнейшие показатели таблиц смертности" 2017, 2018.
Как построить таблицу смертности: инструкция ...
Сначала введем обозначения, которые затем будем использовать в формулах:
– число умерших в возрасте х... х р р где р у _, - вероятность остаться в живых на интервале возраста (х - 1, х) лет (см. ниже). Иначе говоря, числа доживающих / равны вероятности того, что каждая единица исходной совокупности / 0 доживет до точного возраста х лет. Совокупность всех / называется порядком вымирания, а линейная диаграмма, построенная на основе этих чисел, - линией дожития.
Попробуйте самостоятельно доказать это утверждение.
Функции таблиц смертности
Таблица 8.6
|
Интервал возраста (x, x + n) лет |
доживающих до точного возраста |
Вероятность умереть на интервале возраста (х, х +л) лет, |
Вероятность остаться в интервале возраста (х, х + п) лет, |
умирающих на интервале возраста (х, х +л) лет, |
Доля последнего года жизни для умирающих на интервале возраста (х, х + п) лет, |
Числа живущих на интервале возраста (х, х +л) лет, |
человеко- лет, прожитых после достижения точного возраста |
ожидаемая продолжи тельность предстоящей жизни в возрасте |
|
1х х А |
||||||||
Доля последнего года жизни для умирающих на интервале возраста (х, х + п) лет, (п а х) рассчитывается в зависимости от особенностей распределения смертности на данном возрастном интервале. В таблице приведены значения этого параметра, взятые из работы американского демографа Чинлонг Чаня (См.: Chin Long Chiang. The Life Table and Its Construction // Introduction to Stochastic Processes in Biostatistics. N.Y., 1968. P. 189-214).
случаев смерти внутри возрастного интервала (х, х + 1) лет. В самых младших возрастах это распределение имеет левостороннюю асимметрию (т.е. сдвинуто к началу возрастного интервала), и потому величина а х меньше ] / 2 , чему она была бы равна в случае равномерного распределения и чему она конвенционально равна для возрастов старше 4 лет. Данный показатель играет важную роль в современных модификациях демографического метода построения таблиц смертности, который будет рассмотрен ниже.
Графа 7. Общее число человеко-лет, прожитых в возрастном интервале (х, х + 1) лет, Ьх. Все те, кто проживет полный возрастной интервал (х, х + 1) лет, вносит в общее число прожитых человеко-лет (1х - (1х) лет. Каждый же из тех, кто умрет на этом интервале возраста, вносит в! х в среднем х часть этого интервала. Отсюда: Ь х = (I - б) + а" х = 0, 1, 2,..., со - 1). В полных таблицах смертности в возрастах 5 лет и старше величина конвенционально принимается равной х / 2 и, поэтому, для этих возрастов
К =‘х- °. 5 Ц = - + 2 + " "
Графа 8. Число человеко-лет, которое предстоит прожить после достижения точного возраста х лет, Т. Этот кумулятивный показатель равен сумме человеко-лет, прожитых на каждом возрастном
интервале, начиная с возраста х лет, или Т х = 2 ^Ь Х.
- Графа 9. Средняя ожидаемая продолжительность предстоящей жизни в возрастех лет ё х . Это число показывает, сколько в среднем предстоит прожить человеку, достигшему возраста х лет. Поскольку всем дожившим до этого возраста (их число равно
- 1) предстоит прожить Т лет, постольку ё х лет. Поскольку далее, как было показано выше, каждый, кто умирает на интервале возраста (х+1) год, проживает в среднем а его часть, постольку средний возраст смерти на этом интервале равен (х х ё г + а"). Отсю-
- (0-1 | у 7
да = I х х д х + а х. Каждое ё х = - суммирует смертность в возрастах о К
старше х лет, что делает эту графу наиболее важной в таблице смертности. Более того, это одна из трех функций таблицы смертности (наряду с ц х и а х), которая имеет смысл безотносительно к корню таблицы. Как правило, ё х убываете возрастом. Единственное исключение представляет собой возраст 0 лет, когда ё 0 из-за высокой младенческой смертности. Это называется парадоксом младенческой смертности. В высокоразвитых странах с очень низкими значениями младенческой смертности этот парадокс отсутствует.